Leyes de Gases - Ejercicios resueltos

Ley de Gases. Presión de un gas

Para hablar del estado gaseoso, es preciso definir en primera instancia qué es la presión de un gas.

La presión se define como la fuerza aplicada por unidad de área. Es decir:

$$P=\frac{fuerza}{area}=\left[\frac{N}{m^{^{2}}}\right ] \equiv Pascal$$

Por lo tanto, la presión de un gas es aquella que ejercen todas las moléculas del gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene. Así, por ejemplo, la presión atmosférica es la presión que ejercen los gases que componen el aire (78% nitrógeno, 21% oxígeno y 1% otros gases tales como: dióxido de carbono, argón y vapor de agua) de la atmósfera sobre la tierra. Esta presión depende de la localización, la temperatura y el clima.

Barómetro. Instrumento para medir
presión de gases

Para medir la presión atmosférica se utiliza un barómetro. Generalmente, el barómetro consiste en un tuvo en forma de U, el cual está cerrado por un extremo y por el otro está abierto a la atmósfera. El tubo tiene en su interior mercurio y posee además una escala graduada para medir el desplazamiento de la columna de mercurio, tal y como se muestra en la figura.

La presión atmosférica estándar es 1 atm = 760 mmHg. La unidad de mmHg, se lee milímetros de mercurio y también se le llama Torr, en honor al científico italiano Evangelista Torricelli, quién inventó el barómetro. Entonces,
$$1Torr=1mmHg\Rightarrow 760Torr=760mmHg=1atm=1,01325*10^{5}Pa$$

Ejemplo: 
La presión externa de un avión de propulsión que vuela a gran altitud es considerablemente menor que la presión atmosférica. Por ello, el aire del interior de la cabina debe presurisarse para proteger a los pasajeros ¿cuál es la presión en atm en la cabina si la lectura del barómetro es 688 mmHg?

$$P=688mmHg*\frac{1 atm}{760 mmHg}=0,905 atm$$ 

Leyes que rigen el comportamiento de los gases

Ley de Boyle
Debemos comenzar hablando de la Ley de Boyle. Está ley fue enunciada por Robert Boyle en 1662. En ella se expresa la realación inversa entre la presión y el volumen de un gas.

$$P\propto \frac{1}{V}$$  

Es decir que al aumentar el volumen la presión del gas disminuye. Se puede expresar: $$P=\frac{K}{V}$$ ó $$PV=K$$ Ejemplo:

A 27ºC una muestra de 15,0L de un gas que soporta una presión de 6,2 atm, se expande lentamente hasta ocupar un volumen de 20,0L ¿cuál será la presión que soporta el gas si la temperatura se mantuvo constante?

Por ser T constante, podemos aplicar la Ley de Boyle.

antes de la expansión tenemos: 

$$P_{1}V_{1}=K_{1}$$ y después de la expansión: $$P_{2}V_{2}=K_{2}$$ Como $$K_{1}=K_{2}$$ podemos escribir: $$P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}$$ De esta ecuación despejamos la variable que nos interesa calcular, es decir la presión 2. $$P_{2}=\frac{V_{1}}{V_{2}}P_{1}\Rightarrow \left ( \frac{15}{20} \right )6,2atm=4,7atm$$
Vemos que el aumento volumen provocó una disminución de la presión.

Ley de Charles y Gay - Lussac

Se define el coeficiente de dilatación de un gas, a presión constante, como el aumento medio de volumen por unidad de volumen inicial del gas, por cada grado de temperatura.

$$V_{T}=V_{0}\alpha T+V_{0}$$ Al hacer $$V_{T}=0$$ se encontró un valor aproximado de -273ºC, así se logró calcular el valor del coeficiente de dilatación, a presión constante. $$0=V_{0}(1+\alpha (-273))\Rightarrow 0=V_{0}-V_{0}\alpha 273\Rightarrow V_{0}=V_{0}\alpha (273)$$ $$\alpha =\frac{1}{273}$$

Esta observación fue expresada como ley matemática por el químico francés J.L. Gay-Lussac. "El coeficiente de dilatación de un gas a presión constante es independiente de la temperatura, de la presión y de la naturaleza del gas"
En otras palabra se puede expresar la Ley de Charles y Gay-Lussac como "el volumen de una masa de gas a presión constante es directamente proporcional a su temperatura absoluta". $$V=KT; \frac{V}{T}=K_{(n,P)}$$Ejemplo:
A una muestra de 420 mL de cloro a 30ºC se le duplica su temperatura a presión constante. (a)¿cuál es el nuevo volumen? (b) ¿a qué temperatura se deberá llevar el gas para que el volumen se duplique?
Como vemos la presión y el número de moles se mantienen constantes, por lo tanto podemos aplicar la Ley de Charles y Gay-Lussac, entonces:

$$\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}\Rightarrow V_{2}=\frac{T_{2}}{T_{1}}V_{1}$$ Sustituimos valores, recordando que se debe trabajar con temperaturas absolutas. $$V_{2}=\frac{333 K}{303K}420mL=462mL$$ y para la parte (b) $$V_{2}=2V_{1}$$ Esto implica que: $$T_{2}=2T_{1}\Rightarrow T_{2}=2(303K)=606K$$

Ley de Amonton

El físico francés G. Amonton (1663 - 1705) demostró que a un gas también se le puede aumentar la temperatura manteniendo constante el volumen. Bajo esta condición, la presión del gas aumentará. Experimentalmente se encontró que:$$P_{T}=P_{0}+P_{0}\beta T$$ Siendo $$\beta =\alpha =\frac{1}{273}$$
Utilizando la escala absoluta de temperatura, esta ley queda expresada como:$$P=KT; \frac{P}{T}=K_{(n,V)}$$Ejemplo:
Un reactor de vidrio puede soportar una presión máxima de 4atm. Si en ese reactor se coloca cierta cantidad de gas, que a la temperatura de 27ºC, ejerce una presión de 900 mmHg ¿a qué temperatura estallará el reactor?

Tenemos la presión y la temperatura inicial y como el volumen es constante podemos aplicar la Ley de Amonton y decir: $$\frac{P_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}}{T_{2}}$$Como la presión máxima que puede soportar es 4atm, usamos ese valor como P2 para deducir cual es la temperatura sobre la cual estallará el reactor. Así que despejamos de la ecuación anterior T2.

$$T_{2}=\frac{P_{2}}{P_{1}}T_{1}=\frac{4}{1,18}300K=1017K$$

 

Ecuación de Estado de los Gases Ideales

Conocidas las relaciones existentes entre presión, volumen y temperatura de una masa dada de gas, es posible establecer una ecuación que nos describa el comportamiento del gas.
Uniendo las relaciones de Charles y de Boyle con una nueva constante K que será función de la cantidad de sustancia, tenemos:
$$\frac{PV}{T}=K_{(n)}$$ Es decir que para diferentes condiciones o estados tenemos:$$\frac{P_{0}V_{0}}{T_{0}}=\frac{P_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}V_{2}}{T_{2}}=K_{(n)}$$
Por otra parte según la hipótesis de Avogadro sabemos que:$$V=K_{(P,T)}n$$ y $$K_{(n)}=nR$$ Entonces podemos reescribir la ecuación como:$$\frac{PV}{T}=nR;PV=nRT$$ Esta ecuación se conoce como la Ecuación de Estado de Gases Ideales, donde R es la constante universal de los gases ideales y tiene un valor de $$R=\frac{1atm*22,4L}{1mol*273,16K}=0,082\frac{atm L}{K mol}$$

Por medio de esta ecuación es posible calcular el número de moles, n, cuando se conocen P, V y T.

Si bien la ecuación es de gran utilidad, tiene limitaciones: los cálculos deben basarse en el supuesto de que se trata de un gas ideal.

Un gas ideal se define como un gas que se ajusta a la perfección a la ley del gas ideal (y a las otras leyes de los gases) en todas las condiciones.

Los gases reales (los que existen en la realidad) no se ajustan a la perfección a estas leyes de los gases, porque están compuestos por moléculas que tienen en efecto un volumen y también pequeñas fuerzas de atracción que no están consideradas en las ecuaciones mostradas anteriormente. La desviación respecto a las condiciones ideales se hace bastante significativa a presiones elevadas o a temperaturas muy bajas, cuando las moléculas están próximas unas de otras. En estas condiciones, las atracciones moleculares aumentan y el volumen de las moléculas se convierte en una fracción significativa del volumen total. A presiones ordinarias, la ley de gas ideal resulta adecuada para la mayor parte de los cálculos.

Ejemplo:

Utiliza la ley del gas ideal para calcular el volumen que ocupa 1,0 mol de nitrógeno gaseoso a 25ºC y a una presión de 1,0atm

De la ecuación de gas ideal se despeja el volumen

$$V=\frac{nRT}{P}$$
Ahora simplemente sustituimos los datos en la ecuación y obtenemos así el volumen.$$V=\frac{(1mol)(0,082 Latm/Kmol)(298K)}{1atm}=24,5L$$
Este ejemplo muestra que un mol de nitrógeno (o de cualquier gas) ocupa un volumen de 24,5L a 25ºC y 1atm.

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